O ex-técnico do Gateshead se junta ao time da League One em um contrato de dois anos e meio.
Elliot levou Gateshead ao sexto lugar na Liga Nacional na temporada passada.
Ele também guiou os Tynesiders à glória do FA Trophy em Wembley contra Solihull Moors.
Crawley perdeu o ex-técnico Scott Lindsey na semana passada, quando o jogador de 52 anos caiu de divisão para assumir o MK Dons.
Ben Gladwin assumiu o comando interino na derrota dos Red Devils por 2 a 0 para o Bolton no sábado.
Mas Crawley agiu rapidamente para garantir um contrato permanente com o altamente cotado Elliot.
Elliot disse ao site oficial do clube: “Quando surgiu a oportunidade, foi impossível recusar.
“Ouvi dizer que poderia haver algum interesse e conversamos com os proprietários e tivemos uma conversa muito positiva.
“É muito emocionante ver a forma como estes jogadores jogam e estou muito entusiasmado por poder trabalhar com eles no campo de treino.”
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Crawley está atualmente em 20º lugar na League One, com sete pontos em sete jogos.
Eles ganharam a promoção nos playoffs da League Two na temporada passada sob o comando de Lindsey.
Gladwin e seu número 2, Steve Hafner, permanecerão no comando no jogo em casa de terça-feira contra o Mansfield Town.
Elliot começou sua carreira de jogador no Charlton Athletic, antes de se mudar para o Newcastle em 2011.
Ele jogou mais de 50 vezes pelos Magpies, principalmente servindo como reserva atrás de Tim Krul e Karl Darlow.
Elliot assumiu o comando do Gateshead em 2023 e foi inscrito na equipe de jogo enquanto atuava como técnico interino.
Sua função tornou-se permanente no verão e ele deixa o clube em quinto lugar na Liga Nacional.